En algèbre linéaire et en théorie des graphes, le théorème de Perron-Frobenius, démontré par Oskar Perron et Ferdinand Georg Frobenius, est un théorème portant sur la réduction des matrices à coefficients positifs. Il a d'importantes applications en théorie des probabilités (chaînes de Markov), en théorie des systèmes dynamiques, en économie (analyse entrée-sortie), en théorie des graphes, en dynamique des populations (modèle de Leslie) et dans l'aspect mathématique du calcul des PageRanks de Google.
Théorème de Perron Frobenius pour une matrice positive irréductible
Applications pratiques
- Ce théorème permet de montrer, sous certaines conditions, qu'une chaîne de Markov ergodique sur un espace d'états fini converge en loi vers son unique mesure invariante[réf. nécessaire].
- Le vecteur de Google utilisé lors du calcul des PageRank de Google est un vecteur de Perron-Frobenius.
Anecdote historique
- Le théorème a été découvert une première fois par le mathématicien jésuite français Maurice Potron qui étudiait un modèle économique très proche des analyses entrée-sortie développées des années plus tard.
Notes et références
- Portail des mathématiques
